حل تمرین1تا7 صفحه 22 حسابان یازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۱ تا ۷ صفحه ۲۲ حسابان یازدهم سلام دانش‌آموزان کوشا! در این تمرین‌ها با انواع معادلات **کسری** و **گنگ (رادیکالی)** روبرو هستیم. روش حل در همه آن‌ها، تبدیل به یک معادله درجه دوم استاندارد و سپس بررسی جواب‌ها در دامنه اصلی است. --- ### ۱. حل معادله کسری: $\frac{۶}{x} = ۲ + \frac{x - ۳}{x + ۱}$ **گام ۱: تعیین دامنه**: $x \ne ۰$ و $x \ne -۱$. **گام ۲: ساده‌سازی**: دو کسر سمت راست را جمع می‌کنیم: $$\frac{۶}{x} = \frac{۲(x+۱) + (x-۳)}{x+۱} = \frac{۲x + ۲ + x - ۳}{x+۱} = \frac{۳x - ۱}{x+۱}$$ **گام ۳: طرفین وسطین**: $$۶(x+۱) = x(۳x - ۱)$$ $$۶x + ۶ = ۳x^۲ - x$$ **گام ۴: حل معادله درجه دوم**: $$۳x^۲ - ۷x - ۶ = ۰$$ با تجزیه یا دلتا: $x = \frac{-(-۷) \pm \sqrt{(-۷)^۲ - ۴(۳)(-۶)}}{۲(۳)} = \frac{۷ \pm \sqrt{۴۹ + ۷۲}}{۶} = \frac{۷ \pm \sqrt{۱۲۱}}{۶} = \frac{۷ \pm ۱۱}{۶}$ $$x_۱ = \frac{۷+۱۱}{۶} = ۳ \quad \text{و} \quad x_۲ = \frac{۷-۱۱}{۶} = -\frac{۴}{۶} = -\frac{۲}{۳}$$ **بررسی**: هر دو جواب $\mathbf{۳}$ و $\mathbf{-\frac{۲}{۳}}$ در دامنه قابل قبول هستند. --- ### ۲. حل معادله کسری: $\frac{P}{۲ - P} + \frac{۲}{P} = \frac{-۳}{۲}$ **گام ۱: تعیین دامنه**: $P \ne ۲$ و $P \ne ۰$. **گام ۲: مخرج مشترک و حل**: مخرج مشترک $۲P(۲-P)$ است. دو طرف را در آن ضرب می‌کنیم: $$۲P(P) + (۲-P)۲(۲) = -۳P(۲-P)$$ $$۲P^۲ + ۸ - ۴P = -۶P + ۳P^۲$$ **گام ۳: حل معادله درجه دوم**: $$P^۲ - ۲P - ۸ = ۰$$ با تجزیه $(P-۴)(P+۲)=۰$: $$P_۱ = ۴ \quad \text{و} \quad P_۲ = -۲$$ **بررسی**: هر دو جواب $\mathbf{۴}$ و $\mathbf{-۲}$ در دامنه قابل قبول هستند. --- ### ۳. حل معادله کسری: $\frac{۳y + ۵}{y^۲ + ۵y} + \frac{y + ۴}{y + ۵} = \frac{y + ۱}{y}$ **گام ۱: تعیین دامنه و تجزیه مخرج**: $y^۲ + ۵y = y(y+۵)$. دامنه: $y \ne ۰$ و $y \ne -۵$. **گام ۲: حذف مخرج مشترک**: مخرج مشترک $y(y+۵)$ است. دو طرف را در آن ضرب می‌کنیم: $$\frac{۳y + ۵}{y(y+۵)} \cdot y(y+۵) + \frac{y + ۴}{y + ۵} \cdot y(y+۵) = \frac{y + ۱}{y} \cdot y(y+۵)$$ $$۳y + ۵ + y(y + ۴) = (y + ۱)(y + ۵)$$ $$۳y + ۵ + y^۲ + ۴y = y^۲ + ۶y + ۵$$ **گام ۳: حل معادله**: $$y^۲ + ۷y + ۵ = y^۲ + ۶y + ۵$$ $$y^۲ - y^۲ + ۷y - ۶y = ۵ - ۵$$ $$\mathbf{y = ۰}$$ **بررسی**: جواب $athbf{y = ۰}$ با شرط دامنه $athbf{y \ne ۰}$ در تناقض است. **نتیجه**: این معادله **جواب ندارد**. --- ### ۴. حل معادله گنگ: $2\sqrt{x} = \sqrt{۳x + ۴}$ **گام ۱: تعیین دامنه**: $x \ge ۰$ (به دلیل $\sqrt{x}$) و $۳x + ۴ \ge ۰ \implies x \ge -\frac{۴}{۳}$. اشتراک: $athbf{x \ge ۰}$. **گام ۲: به توان ۲ رساندن**: $$(۲\sqrt{x})^۲ = (\sqrt{۳x + ۴})^۲$$ $$۴x = ۳x + ۴$$ **گام ۳: حل معادله**: $$x = ۴$$ **بررسی**: جواب $athbf{x = ۴}$ در دامنه $athbf{x \ge ۰}$ صدق می‌کند و با جایگذاری در معادله اصلی ($۲\sqrt{۴} = \sqrt{۳(۴)+۴} \implies ۴ = \sqrt{۱۶}$) تایید می‌شود. **جواب معادله**: $\mathbf{۴}$ --- ### ۵. حل معادله گنگ: $\frac{۱ - \sqrt{x}}{۱ + \sqrt{x}} = ۱ - x$ **گام ۱: تعیین دامنه و ساده‌سازی**: دامنه: $athbf{x \ge ۰}$. $$۱ - x$$ را به صورت **اتحاد مزدوج** می‌نویسیم: $۱ - x = ۱ - (\sqrt{x})^۲ = (۱ - \sqrt{x})(۱ + \sqrt{x})$ **گام ۲: بازنویسی معادله**: $$\frac{۱ - \sqrt{x}}{۱ + \sqrt{x}} = (۱ - \sqrt{x})(۱ + \sqrt{x})$$ **گام ۳: یافتن جواب‌ها**: * **حالت ۱ (صورت کسر صفر باشد)**: $$۱ - \sqrt{x} = ۰ \implies \sqrt{x} = ۱ \implies \mathbf{x = ۱}$$ * **حالت ۲ (ضرب در مخرج)**: اگر $۱ - \sqrt{x} \ne ۰$، می‌توانیم دو طرف را بر آن تقسیم کنیم. همچنین دو طرف را در $(۱ + \sqrt{x})$ ضرب می‌کنیم: $$۱ = (۱ + \sqrt{x})(۱ + \sqrt{x}) \implies (۱ + \sqrt{x})^۲ = ۱$$ $$۱ + \sqrt{x} = \pm ۱$$ * **اگر $۱ + \sqrt{x} = ۱$**: $\sqrt{x} = ۰ \implies \mathbf{x = ۰}$ * **اگر $۱ + \sqrt{x} = -۱$**: $\sqrt{x} = -۲$. (غیرقابل قبول) **بررسی**: هر دو جواب $athbf{۱}$ و $athbf{۰}$ در دامنه $athbf{x \ge ۰}$ صدق می‌کنند. **جواب‌های معادله**: $\mathbf{۰, ۱}$ --- ### ۶. حل معادله کسری گنگ: $\frac{۵}{\sqrt{x} + ۲} = ۲ - \frac{۱}{\sqrt{x} - ۲}$ **گام ۱: تعیین دامنه و تغییر متغیر**: دامنه: $athbf{x \ge ۰}$ و $\sqrt{x} \ne ۲ \implies x \ne ۴$. تغییر متغیر: $\mathbf{u = \sqrt{x}}$ ($athbf{u \ge ۰}$ و $athbf{u \ne ۲}$). $$\frac{۵}{u + ۲} = ۲ - \frac{۱}{u - ۲}$$ **گام ۲: مخرج مشترک**: مخرج مشترک $(u+۲)(u-۲) = u^۲ - ۴$ است. دو طرف را در آن ضرب می‌کنیم: $$۵(u - ۲) = ۲(u^۲ - ۴) - ۱(u + ۲)$$ $$۵u - ۱۰ = ۲u^۲ - ۸ - u - ۲$$ **گام ۳: حل معادله درجه دوم**: $$۲u^۲ - ۶u = ۰$$ $$۲u(u - ۳) = ۰$$ $$u_۱ = ۰ \quad \text{و} \quad u_۲ = ۳$$ **گام ۴: بازگشت به $x$ و بررسی اعتبار**: * **اگر $u = ۰$**: $\sqrt{x} = ۰ \implies \mathbf{x = ۰}$ * **اگر $u = ۳$**: $\sqrt{x} = ۳ \implies \mathbf{x = ۹}$ **بررسی**: هر دو جواب $athbf{۰}$ و $athbf{۹}$ در دامنه $athbf{x \ge ۰}$ و $athbf{x \ne ۴}$ صدق می‌کنند. **جواب‌های معادله**: $\mathbf{۰, ۹}$ --- ### ۷. حل معادله گنگ با دو رادیکال: $\sqrt{x + ۳} + \sqrt{۳x + ۱} = ۴$ **گام ۱: تعیین دامنه**: $x + ۳ \ge ۰ \implies x \ge -۳$. و $۳x + ۱ \ge ۰ \implies x \ge -\frac{۱}{۳}$. اشتراک: $\mathbf{x \ge -\frac{۱}{۳}}$. **گام ۲: جدا کردن یک رادیکال و به توان ۲ رساندن**: یکی از رادیکال‌ها را به سمت راست می‌بریم: $$\sqrt{x + ۳} = ۴ - \sqrt{۳x + ۱}$$ به توان ۲ می‌رسانیم (در اینجا شرط $\mathbf{۴ - \sqrt{۳x + ۱} \ge ۰}$ نیز ضمنی است): $$x + ۳ = (۴)^۲ - ۲(۴)\sqrt{۳x + ۱} + (\sqrt{۳x + ۱})^۲$$ $$x + ۳ = ۱۶ - ۸\sqrt{۳x + ۱} + ۳x + ۱$$ **گام ۳: ساده‌سازی و مجدداً جدا کردن رادیکال**: $$۸\sqrt{۳x + ۱} = ۱۷ + ۳x - x - ۳$$ $$۸\sqrt{۳x + ۱} = ۲x + ۱۴$$ دو طرف را بر ۲ تقسیم می‌کنیم: $$\mathbf{۴\sqrt{۳x + ۱} = x + ۷}$$ **گام ۴: به توان ۲ رساندن برای بار دوم**: $$(۴\sqrt{۳x + ۱})^۲ = (x + ۷)^۲$$ $$۱۶(۳x + ۱) = x^۲ + ۱۴x + ۴۹$$ $$۴۸x + ۱۶ = x^۲ + ۱۴x + ۴۹$$ **گام ۵: حل معادله درجه دوم**: $$x^۲ - ۳۴x + ۳۳ = ۰$$ با تجزیه $(x-۱)(x-۳۳)=۰$: $$\mathbf{x_۱ = ۱ \quad \text{و} \quad x_۲ = ۳۳}$$ **گام ۶: بررسی اعتبار جواب‌ها**: باید هر دو جواب در **دامنه اصلی** ($x \ge -\frac{۱}{۳}$) و در **شرط پنهان** گام ۲ ($۴ - \sqrt{۳x + ۱} \ge ۰ \implies \sqrt{۳x + ۱} \le ۴ \implies ۳x + ۱ \le ۱۶ \implies 3x \le ۱۵ \implies x \le ۵$) صدق کنند. * **بررسی $x=۱$**: $۱ \ge -\frac{۱}{۳}$ (صدق می‌کند) و $۱ \le ۵$ (صدق می‌کند). * جایگذاری در معادله اصلی: $\sqrt{۱+۳} + \sqrt{۳(۱)+۱} = \sqrt{۴} + \sqrt{۴} = ۲ + ۲ = ۴$. **(صدق می‌کند)**. * **بررسی $x=۳۳$**: $۳۳ \ge -\frac{۱}{۳}$ (صدق می‌کند) اما $۳۳ \not\le ۵$ (صدق نمی‌کند). * جایگذاری در معادله اصلی: $\sqrt{۳۳+۳} + \sqrt{۳(۳۳)+۱} = \sqrt{۳۶} + \sqrt{۱۰۰} = ۶ + ۱۰ = ۱۶ \ne ۴$. **(ریشه زاید است)**. **جواب معادله**: $\mathbf{۱}$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۸ صفحه ۲۲ حسابان یازدهم این یک مسئله کاربردی است که به یک **معادله کسری** منجر می‌شود. فرض‌های مسئله را به صورت متغیرهای جبری تعریف می‌کنیم. ### گام اول: تعریف متغیرها * **$P$**: **قیمت هر اسباب‌بازی** قبل از تخفیف (بر حسب هزار تومان). این همان مجهول نهایی است. * **$N$**: **تعداد** اسباب‌بازی‌هایی که پدربزرگ خریده است. * **هزینه کل**: ۱۲۰ هزار تومان. ### گام دوم: نوشتن روابط بر اساس شرایط مسئله **۱. حالت اولیه (بدون تخفیف):** * هزینه کل = تعداد $\times$ قیمت هر اسباب‌بازی $$۱۲۰ = N \times P \implies \mathbf{N = \frac{۱۲۰}{P}} \quad \text{(تعداد اصلی)}$$ **۲. حالت تخفیف‌دار (قیمت جدید $P-۱$):** * **قیمت جدید**: $P' = P - ۱$ (هزار تومان تخفیف) * **تعداد جدید**: $N' = N + ۴$ (چهار اسباب‌بازی بیشتر) * **هزینه کل**: همان ۱۲۰ هزار تومان $$۱۲۰ = N' \times P' \implies ۱۲۰ = (N + ۴)(P - ۱)$$ ### گام سوم: تشکیل و حل معادله مقدار $N = \frac{۱۲۰}{P}$ را در معادله تخفیف‌دار جایگذاری می‌کنیم: $$۱۲۰ = (\frac{۱۲۰}{P} + ۴)(P - ۱)$$ طرف راست را گسترش می‌دهیم: $$۱۲۰ = \frac{۱۲۰}{P}(P) - \frac{۱۲۰}{P} + ۴P - ۴$$ $$۱۲۰ = ۱۲۰ - \frac{۱۲۰}{P} + ۴P - ۴$$ جمله ۱۲۰ از دو طرف حذف می‌شود: $$۰ = -\frac{۱۲۰}{P} + ۴P - ۴$$ برای خلاص شدن از کسر، دو طرف را در $P$ ضرب می‌کنیم (با فرض $P \ne ۰$): $$۰ = -۱۲۰ + ۴P^۲ - ۴P$$ ### گام چهارم: حل معادله درجه دوم معادله درجه دوم استاندارد را می‌سازیم و بر ۴ تقسیم می‌کنیم: $$۴P^۲ - ۴P - ۱۲۰ = ۰$$ $$\mathbf{P^۲ - P - ۳۰ = ۰}$$ با روش **تجزیه** (دو عدد با ضرب $-۳۰$ و جمع $-۱$: $-۶$ و $۵$): $$(P - ۶)(P + ۵) = ۰$$ $$\mathbf{P_۱ = ۶ \quad \text{و} \quad P_۲ = -۵}$$ ### گام پنجم: نتیجه‌گیری از آنجا که $P$ **قیمت** است، باید یک مقدار **مثبت** باشد. پس $P = -۵$ قابل قبول نیست. **نتیجه**: قیمت هر اسباب‌بازی قبل از تخفیف **۶** هزار تومان بوده است. **بررسی (اختیاری)**: * قیمت اصلی: ۶ هزار تومان $\implies$ تعداد اصلی: $\frac{۱۲۰}{۶} = ۲۰$ اسباب‌بازی. * قیمت تخفیف‌دار: $۶-۱ = ۵$ هزار تومان. * تعداد تخفیف‌دار: $\frac{۱۲۰}{۵} = ۲۴$ اسباب‌بازی. (که $۲۴ = ۲۰+۴$، صحیح است).

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۹ صفحه ۲۲ حسابان یازدهم این یک مسئله رایج **کار مشترک** است که با مفهوم **نرخ کار** (کسری از کار انجام شده در واحد زمان) حل می‌شود. فرض می‌کنیم کل کار برابر با ۱ واحد باشد. ### گام اول: تعریف متغیرها و نرخ کار * **$t_B$**: زمان لازم برای ماشین $B$ تا کار را به‌تنهایی انجام دهد (بر حسب ساعت). * **$t_A$**: زمان لازم برای ماشین $A$ تا کار را به‌تنهایی انجام دهد. **رابطه زمانی**: ماشین $A$ کار را ۱۵ ساعت زودتر از $B$ انجام می‌دهد: $$\mathbf{t_A = t_B - ۱۵}$$ **نرخ کار (Rate)**: * **نرخ کار $A$**: $\frac{۱}{t_A} = \frac{۱}{t_B - ۱۵}$ (کسری از کار در ۱ ساعت) * **نرخ کار $B$**: $\frac{۱}{t_B}$ (کسری از کار در ۱ ساعت) **شرط دامنه**: از آنجا که زمان و اختلاف زمان هر دو باید مثبت باشند: $\mathbf{t_B > ۱۵}$ ### گام دوم: تشکیل معادله کار مشترک اگر هر دو ماشین با هم کار کنند، کار را در ۱۸ ساعت انجام می‌دهند. **جمع نرخ‌های کار** برابر است با **نرخ کار مشترک** ($rac{۱}{۱۸}$): $$\frac{۱}{t_A} + \frac{۱}{t_B} = \frac{۱}{۱۸}$$ $$\frac{۱}{t_B - ۱۵} + \frac{۱}{t_B} = \frac{۱}{۱۸}$$ ### گام سوم: حل معادله کسری **۱. مخرج مشترک‌گیری (سمت چپ)**: $$\frac{t_B + (t_B - ۱۵)}{t_B (t_B - ۱۵)} = \frac{۱}{۱۸}$$ $$\frac{۲t_B - ۱۵}{t_B^۲ - ۱۵t_B} = \frac{۱}{۱۸}$$ **۲. طرفین وسطین**: $$۱۸(۲t_B - ۱۵) = ۱(t_B^۲ - ۱۵t_B)$$ $$۳۶t_B - ۲۷۰ = t_B^۲ - ۱۵t_B$$ **۳. حل معادله درجه دوم**: $$t_B^۲ - ۵۱t_B + ۲۷۰ = ۰$$ با استفاده از **تجزیه** (به دنبال دو عدد با ضرب ۲۷۰ و جمع ۵۱: ۴۵ و ۶): $$(t_B - ۴۵)(t_B - ۶) = ۰$$ $$\mathbf{t_{B۱} = ۴۵ \quad \text{و} \quad t_{B۲} = ۶}$$ ### گام چهارم: بررسی اعتبار جواب‌ها از شرط دامنه می‌دانیم که **$t_B$ باید بزرگتر از ۱۵ باشد** ($t_B > ۱۵$): * **$t_{B۱} = ۴۵$**: در شرط صدق می‌کند ($۴۵ > ۱۵$). **قابل قبول است**. * **$t_{B۲} = ۶$**: در شرط صدق نمی‌کند ($۶ \not> ۱۵$). **غیرقابل قبول است**. ### گام پنجم: محاسبه زمان لازم برای ماشین $A$ زمان $t_B = ۴۵$ ساعت است. زمان $t_A$ برابر است با: $$t_A = t_B - ۱۵ = ۴۵ - ۱۵ = \mathbf{۳۰} \quad \text{ساعت}$$ **نتیجه نهایی**: * **ماشین $A$**: $\mathbf{۳۰}$ ساعت * **ماشین $B$**: $\mathbf{۴۵}$ ساعت

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۱۰ صفحه ۲۲ حسابان یازدهم این یک مسئله کلاسیک **حرکت در آب** است که شامل سرعت کشتی و سرعت آب است. در این نوع مسائل، زمان توقف باید از زمان کل سفر کسر شود. ### گام اول: تعریف متغیرها و تعیین زمان خالص حرکت * **$D$**: فاصله بین دو شهر $= ۱۴۴$ کیلومتر. * **$t_{کل}$**: زمان کل سفر $= ۱۷$ ساعت. * **$t_{توقف}$**: زمان توقف $= ۲$ ساعت. * **$t_{حرکت}$**: زمان خالص حرکت $= ۱۷ - ۲ = ۱۵$ ساعت. **سرعت‌ها**: * **$v_R$**: سرعت کشتی در خلاف جهت آب (سرعت کمتر). * **$v_A$**: سرعت کشتی در جهت آب (سرعت بیشتر). **رابطه سرعت‌ها**: سرعت در جهت آب ۸ کیلومتر بر ساعت بیشتر از سرعت در خلاف جهت آب است: $$\mathbf{v_A = v_R + ۸}$$ **نکته**: ما باید $\mathbf{v_A}$ را پیدا کنیم. ### گام دوم: تشکیل معادله زمان زمان صرف شده برای هر مسیر از فرمول $t = \frac{D}{v}$ به دست می‌آید. **مجموع زمان رفت و برگشت** باید ۱۵ ساعت باشد. $$\mathbf{t_{رفت} + t_{برگشت} = ۱۵}$$ $$\frac{D}{v_A} + \frac{D}{v_R} = ۱۵$$ **جایگذاری مقادیر**: $$\frac{۱۴۴}{v_A} + \frac{۱۴۴}{v_R} = ۱۵$$ ### گام سوم: تغییر متغیر و حل معادله **۱. تقسیم بر ۱۴۴**: $$\frac{۱}{v_A} + \frac{۱}{v_R} = \frac{۱۵}{۱۴۴} = \frac{۵}{۴۸}$$ **۲. جایگذاری $v_R$**: از رابطه $v_R = v_A - ۸$ استفاده می‌کنیم: $$\frac{۱}{v_A} + \frac{۱}{v_A - ۸} = \frac{۵}{۴۸}$$ **۳. مخرج مشترک‌گیری (سمت چپ)**: $$\frac{v_A - ۸ + v_A}{v_A (v_A - ۸)} = \frac{۵}{۴۸}$$ $$\frac{۲v_A - ۸}{v_A^۲ - ۸v_A} = \frac{۵}{۴۸}$$ **۴. طرفین وسطین**: $$۴۸(۲v_A - ۸) = ۵(v_A^۲ - ۸v_A)$$ $$۹۶v_A - ۳۸۴ = ۵v_A^۲ - ۴۰v_A$$ **۵. حل معادله درجه دوم**: $$۵v_A^۲ - ۱۳۶v_A + ۳۸۴ = ۰$$ با استفاده از **فرمول دلتا** ($a=۵, b=-۱۳۶, c=۳۸۴$): $$\Delta = (-۱۳۶)^۲ - ۴(۵)(۳۸۴) = ۱۸۴۹۶ - ۷۶۸۰ = ۱۰۸۱۶$$ $$\sqrt{\Delta} = ۱۰۴$$ $$v_A = \frac{-(-۱۳۶) \pm ۱۰۴}{۲(۵)} = \frac{۱۳۶ \pm ۱۰۴}{۱۰}$$ * **ریشه اول ($v_{A۱}$):** $v_{A۱} = \frac{۱۳۶ + ۱۰۴}{۱۰} = \frac{۲۴۰}{۱۰} = ۲۴$ کیلومتر بر ساعت * **ریشه دوم ($v_{A۲}$):** $v_{A۲} = \frac{۱۳۶ - ۱۰۴}{۱۰} = \frac{۳۲}{۱۰} = ۳.۲$ کیلومتر بر ساعت ### گام چهارم: بررسی اعتبار جواب‌ها سرعت در خلاف جهت آب ($v_R = v_A - ۸$) باید مثبت باشد، پس $v_A$ باید **بزرگتر از ۸** باشد. * **$v_{A۱} = ۲۴$**: $۲۴ > ۸$. **قابل قبول است**. * **$v_{A۲} = ۳.۲$**: $۳.۲ \not> ۸$. (سرعت در خلاف جهت آب منفی می‌شود: $۳.۲ - ۸ = -۴.۸$). **غیرقابل قبول است**. **نتیجه نهایی**: سرعت حرکت کشتی در جهت آب $\mathbf{۲۴}$ کیلومتر بر ساعت است.